matrice associée à une application linéaire

et pour chacun d'eux, il y a Représentation d’une application linéaire On désigne par f l'application linéaire de E vers E tq pour tout vecteur x de E: f(x)=x-2(x1+x2+x3)v où (x1, x2, x3) sont les coordonnées de x dans la base B. Je dois écrire la matrice A de f dans la base B. Soient B=(e1,e2, e3) une base de E et v le vecteur de E tq v=e1-e2+e3. L'application qui associe à chaque fonction polynôme sa fonction dérivée est un endomorphisme de P3. Mais, la matrice trouvée dépend entièrement de ce choix de bases. Elle sera utilisée dans toute cette ressource. . Calculs avec les matrices de passage Sous-groupes compacts de GLn(R) [Al] Feuilles de Travaux Dirigés Feuille n°1 : Le groupe linéaire et Nous verrons que pour les matrices de passage l’ordre est inversé… Déterminer si les applications suivantes (de Ei dans Fi ) sont linéaires. Ce qui est cohérent avec le fait que P x P-1 = Id (heureusement !). 2) = (c;d) avec la matrice A= a c b d . Tu sais que car h est linéaire Donne-moi une matrice A qui marche pour voir si tu as compris. —. . par rapport aux bases une matrice de M 2(R) et soit f : M(R) !M(R) l’application d e nie par f(M) = AM MApour toute matrice M 2M 2(R). On considère l'espace vectoriel P3 des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 et la base B = (1 ; x; x2; x3). + y p u ′ p F , on note X ℬ = [ x j ] 1 ≤ j ≤ n et Y ℬ ′ = [ y i ] 1 ≤ i ≤ p les matrices colonnes des coordonnées des vecteurs x … 62 CHAPITRE 3 3M renf – Jt 2020 3.2 Matrice associée à une application linéaire Exemple dans IR 2: 5 cos e 1 12 Commençons par un exemple important.On considère le vecteur Cela signifie que si f(X2) = 2 x 2X – X2 = 4X – X2 lignes et f(e1) = 3e’1 + 4e’2 Plus en détails pour chacun des cas : lignes et f(X3) = 2 x 3X2 – X3 = 6X2 – X3. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); Copyright © Méthode Maths 2011-2020, tous droits réservés. ). . . Soit Vérifions que c’est bien le cas dans l’exemple précédent. L’application correspondant à la multiplication des 2 matrices sera la composée des autres applications mais en gardant le même ordre !! ce qui "prouve" qu'à une matrice donnée ne peut correspondre qu'une seule application linéaire (même en faisant varier les bases) or je vois bien que ce résultat est faux et donc qu'il y a une erreur dans ma "démonstration", mais je ne vois pas où :'-( Matrice associée à une application linéaire. Voyons un exemple d’application concret. Le type de la matrice associée à l'application linéaire La matrice suffit donc à connaître l’application f. L’égalité y = f(x) peut se traduire sous forme matricielle par Y = AX, où Y est le vecteur colonne reprenant les coordonnées de y dans la base B’, X est le vecteur colonne des coordonnées de x dans la base B, et A la matrice de f relativement aux bases B et B’. La notation ( Savoir calculer avec des matrices : somme, produit, déterminant. et choisie, ce que l'on peut expliciter de la manière suivante : si de En effet, comme Id(e’i) = e’i pour tout i, on peut faire le parallèle avec ce que l’on a vu sur les applications linéaires en début de chapitre : P est est donc bien la matrice de l’application identité en partant de la base B’ pour arriver dans la base B : — est. . Représentation d’une application linéaire. Montrer que : (est injective si et seulement si ker )={0 }. Image des vecteurs de la base de E. Matrices associées à f+g et à kf Retour au sommaire des coursRemonter en haut de la page. Décomposition polaire [CG, G] 5. . Pour exprimer la matrice A d'une application linéaire h, il suffit d'exprimer l'image de la base , soit et seront les colonnes de ta matrice. . et de celle de Ainsi, la matrice de f dans la base B est : Une matrice de passage, souvent notée P (comme Passage), est une matrice qui détermine comment passer d’une base d’un espace à une autre base du même espace. ) signifie que l'on considère l'espace vectoriel Exemple : supposons que l’ont ait : Contrairement aux matrices des applications linéaires vues plus hauts, l’ordre dans la notation est inversé : P est la matrice de passage de B dans B’ MAIS elle est notée MatB’,B(Id)… Dé nition7 Application linéaire canoniquement associée à une matrice Soit A2M n;p(R) une matrice de nlignes et pcolonnes. par rapport aux bases Par ailleurs, comme B et B’ sont des bases d’un même espace, elles ont même dimension, donc P est nécessairement une matrice carrée de taille n, avec n la dimension de l’espace considéré. Bonjour à toutes et à tous, Je suis bloqué dans un exercice d'applications linéaires. e’3 = -3e1 + 6e2 + 5e3. Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : Pour bien comprendre, il faut que tu aies lu le chapitre sur les espaces vectoriels et les applications linéaires, sinon tu risques de ne pas comprendre le vocabulaire employé. Coordonnées de l’image d’un vecteur. On aura donc les formules : Comme f Id = f et Id f = f, on aura par la suite ce genre de formule : Après ce petit prélude, rentrons désormais dans le vif du sujet ! e2 = 0e1 + 1e2 + 0e3 . la dimension de conformément à la définition précédente. Propriétés. Des bases étant choisies respectivement dans On prend la base canonique de E : (1, X, X2, X3), et on définit l’application f par : Pour trouver la matrice de f dans la base B, il faut calculer l’image de chaque vecteur de la base : f(1), f(X), f(X2) et f(X3) : — En effet : et Comme tu le vois, ce sont les deux bases aux extrémités qui doivent être égales, et le résultat donne les deux bases du centre mais inversées… ce sera plus clair dans les vidéos, — 2. ATTENTION !! Soit =ker( − ). a) Montrer que fest une application lin eaire. dans Les résultats s’ex-priment en explicitant une (ou plusieurs) matrice M0qui est la matrice de f dans une base bien choisie et ensuite en montrant que toutes les autres matrices sont de la forme M =P 1M0P. . et 1.1 Matrice dans les bases canoniquement associées à A Théorème 1 : Soit A ∈Mn,p(K). Matrice d’une famille de vecteurs dans une base, d’une application linéaire dans un couple de bases. (x;0) qui est la projection orthogonale Notes de cours S2 PeiP année 2014-2015 Michel Rumin et f(1) = 2 x 0 – 1 = -1 Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée . Allez à : Correction exercice 24 Exercice 25. Aucune reproduction, même partielle, ne peut être faite de ce site et de l'ensemble de son contenu : textes, documents et images sans l'autorisation expresse de l'auteur, Cours et Exercices classes prépa – post-bac, Cercle trigonométrique et formules de trigo. Montrer que (x0,f(x0),f2(x0)) est une base de E. (Q 3) Quelle est la matrice de fdans cette base? Remarque : la plupart du temps, on aura B1 = B2 et B’1 = B’2, ce qui donnera P = Q ! et une base de Applications linéaires. Il est donc tout à fait naturel d'introduire la matrice à Si tu as un cours sur la matrice d'un endomorphisme dans une base, tu peux y lire que ses colonnes sont les coordonnées (*) des images des vecteurs de la base. Cette matrice A définit entièrement l’application f. De même pour P x P -1. Matrice associée à une application bilinéaire et à une forme quadratique. et f(e2) = -8e’1 + 5e’2 Pour savoir laquelle, le principe ressemble plus ou moins au principe de Chasles mais avec un piège ! Soit : → une application linéaire et un réel. e1 = 1e1 + 0e2 + 0e3 -ième colonne est constituée par les coordonnées dans la base Soit est entièrement déterminée par les Ce pseudo principe de Chasles s’effectue avec la notation car, comme vu précédemment, les bases ne sont pas dans le même ordre selon que l’on parle de la notation ou du principe du passage d’une base à une autre. Exercice 1. Notons B l’ancienne base et B’ la nouvelle base. Remarque : pour les applications, comme f, la notation respecte l’ordre des bases. Exercices. du vecteur Soit la dimension de et une base de . B = (e1, e2, e3) et B’ = (e’1, e’2, e’3). , indique que a_{i,j} est la coordonnée de soit f une application linéaire de E dans F (E et F sont des espaces vectoriels). On peut l’indentifier à l’application linéaire ˜u: M2,1(K) →M3,1(K) définie par ˜u(X) = AX. , il existe Ensuite, pour la matrice B, c'est facile, tu changes de base (avec une matrice de passage par exemple. vecteurs Mais si on veut la matrice de passage de B’ dans B… on fait tout simplement P -1 ! Alors il existe une unique application linéaire fqui av de Rp dans Rn qui est représentée par la matrice A dans les bases canoniques de Rn et Rp. et s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 2 On dit que u ∈L(K2,K3) est l’application linéaire canoniquement associée à la matrice A. . Si on note Abl’application linéaire canoniquement associée à A et Bp et Bn les bases canoniques respectives de Kp et Kn, alors : A=Mat Bp,Bn bA. Enfin, pour terminer la partie sur les matrices de passage, mentionnons le fait que l’on puisse, grâce aux matrices de passage, exprimer les coordonnées d’un vecteur dans une autre base. On peut transformer la matrice d’une application linéaire en une autre matrice de la même application linéaire mais dans une autre base. Exercice : Matrice associée à une application linéaire Notation matricielle et systèmes linéaires Pour tous x = x 1 u 1 + . Introduction ou dans les bases muni de la base On pose : Ici B1 et B’1 sont des bases de E, B2 et B’2 sont des bases de F. —, Mais attention !!! est déterminée de façon unique par l'image d'une base de Soit une application linéaire de vers . En effet, une application est entièrement définie si on connaît l’image de tous les vecteurs de l’espace de départ. Calcul matriciel : matrice et espaces vectoriels. de la base de Attention ! et Chaque colonne de la matrice représente l’image de chaque vecteur de la base de départ dans la base d’arrivée, Avec un exemple ce sera beaucoup plus compréhensible : On peut aussi multiplier les matrices de passage. TROUVER LA MATRICE ASSOCIÉE À UNE APPLICATION LINÉAIRE DONNÉE ... On conclut donc que est bien linéaire, omme l’image d’une om inaison linéaire est égale à la combinaison linéaire … De la même manière que ce que l’on a vu ci-dessus, chaque colonne représentera les coordonnées d’un nouveau vecteur dans l’ancienne base : On complète ensuite par colonne par rapport à ce qui est donné dans l’énoncé. , il y a unicité de la matrice associée à Dans un tel cas, on dit que les matrice A et B sont équivalentes car elles représentent la même application linéaire mais dans des bases différentes. 3. 4. Exercice 2. — ngest une famille g en eratrice (ou une base) de E. Pour d e nir une application lin eaire sur E, il su t donc de d e nir les images des vecteurs d’une base de E. D e nition 5 { Soient Eet F deux espaces vectoriels de dimension nie et f2L(E;F). est un entier compris entre deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps Si on note ϕ l’application canoniquement associée à A et Bp et Bn, les bases cano-niques respectives de Kp et Kn, alors : A =MatB p,Bn(ϕ) Exemple : Soit ϕ l’application linéaire canoniquement associée à la matrice 1 0 1 1 −1 1 . f(e3) = 7e’1 – 2e’2. Représentation d’une application linéaire. . . La matrice A, relativement aux bases B et B’, est notée MatB, B’(f). La matrice de passage possède quelques particularités que tu dois connaître. Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Exemple L’application f χ −→ Z 1 0 f t2 dt est linéaire de C [0,1],R dans R. Démonstration Les applications f −→f t −→t2 et f −→ Z 1 0 f (x)dx sont linéaires, donc χaussi par composition. Application linéaire associée à une matrice. la dimension de Déterminer une matrice associée à une application linéaire. Application linéaire associée à une matrice. Noyau et image de f. Problèmes. Remarque : si l’espace vectoriel de départ est le même que l’espace d’arrivée (et donc même base de départ et d’arrivée), on pourra écrire MatB(f) à la place de MatB, B(f). On se place dans l’espace E = K3[X], l’ensemble des polynômes de degré inférieure ou égal à 3. + x n u n E et y = y 1 u ′ 1 + . Dans ce chapitre nous allons parler du lien entre matrices et applications linéaires. —. Définition de la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases Soient et deux espaces vectoriels de type fini sur un même corps . 1. . s'écrit : la Classification [CG] Sur les complexes, les réels et les corps finis. Si f est une application linéaire de E vers F et α un scalaire, notons αf l'application de E vers F qui, à tout v de E associe α.f(v).On définit ainsi une loi de composition externe dans l'ensemble, noté L(E,F), des applications linéaires de E vers F. Muni, de cette loi et de l'addition des applications, L(E,F) est un espace vectoriel sur K. la matrice à (mais bien sûr mathématiquement ce n’est pas correct de dire ça, c’est juste pour comprendre^^). , varie entre En revanche, on peut très bien comprendre le principe avec un schéma : Et là en retrouve un vrai principe de Chasles ! Cas particulier, si on fait P -1 x P, on obtient la matrice de passage de B’ dans B’… qui est l’identité ! En effet cette matrice a un nombre de lignes égal à la dimension de l'espace d'arrivée de Une matrice peut être vue comme la représentation, sous forme d’un « tableau », d’une application linéaire. Une matrice de passage P est toujours inversible et si P est la matrice de passage de B dans B’, alors P -1 est la matrice de passage de B’ dans B. Ce cours est simplifié au maximum pour que tu puisses comprendre et réaliser les exercices. ou relativement aux bases Pour calculer X’, il me faut la matrice de passage de B’ vers B : MatB,B’(Id) : Tout cela sera évidemment beaucoup plus simple quand tu auras fait les exercices. - si Tout d’abord, de par sa définition, P correspond à la matrice de l’application identité (Id) de la base B’ dans la base B. De plus, on a dit que P était la matrice de passage de B dans B’. En effet je ne sais pas comment déterminer la matrice associée d'une application linéaire (cette notion a été très rapidement abordée en cours). Déterminer la matrice associée à une application linéaire f à partir de l'image par f des vecteurs de la base de E. f est-elle bijective ? C'est l' application linéaire canoniquement associée à A uniques. est un entier compris entre Il faut trouver les propriétés de l’application linéaire f associée à chacune de ces matrices. Si , une application linéaire vérifiant (c'est-à-dire ) n'est pas nécessairement égale à une affinité de rapport 1 (qui est l'identité). colonnes de terme général . On appelle matrice associée à l'application linéaire Calculer ( ) pour ∈ Mat(f) x Mat(g) → Mat(f g) et non Mat(g f). Vérifions en calculant Q-1AP que l’on va simplifier avec le principe vu précédemment : Si on multiplie cette égalité par Q à gauche et P-1 à droite, on obtient : Ainsi on a pu transformer la matrice A de l’application f exprimée dans une base, à une autre matrice B de la même application mais exprimée dans une autre base, uniquement en multipliant par des matrices de passage ! Sur ce même principe, on peut combiner matrice de passage et matrice d’application linéaire. . Vocabulaire : on dit aussi que c'est la matrice de La matrice A, relativement aux bases B et B’, notée MatB, B’(f) est : Comme tu le vois, chaque colonne correspond aux coordonnées de f(e1), f(e2) et f(e3), c’est-à-dire les images des vecteurs de la base de l’espace de départ. Par exemple l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est égale à est bien tel que et n'est pas égal à l'identité. L'application de L(E, F) dans M m,n (K) qui à chaque φ associe sa matrice dans (B, C) est un isomorphisme d'espaces vectoriels. Si est la matrice de et la matrice de , la proposition 4 entraîne que .. Réciproquement si est inversible, alors définit une application linéaire unique de dans .La composée de cette application avec a pour matrice : c'est l'application identique. cette application est linéaire et définie de ℝ2 vers ℝ2. coefficients Voyons tout d’abord la formule de la multiplication de matrices sous forme générale (on a vu ci-dessus ce que cela donnait avec la matrice identité) : Comme tu le vois, au niveau des bases c’est comme précédemment avec le pseudo-principe de Chasles. Noyau et image de f. Problèmes. Je veux exprimer ce vecteur dans une autre base B’, on note ce nouveau vecteur X’. Théorème (Matrice dans les bases canoniques de l’application linéaire canoniquement associée à une matrice) Soit A ∈Mn,p(K). Soient b) Ecrire la matrice de fdans la base canonique B 1 = (E 11;E 12;E 21;E 22) de M 2(R). —. est un vecteur de Prenons par exemple un espace de dimension, et posons : colonnes dont la Exercice 11 : [corrigé] Déterminer une base du noyau, l’image de l’application linéaire canonique-ment associée à la matrice A= 4 8 2 4 ainsi que cette dernière application linéaire, et vérifier le théorème du rang. Application : loi de réciprocité quadratique. —. une application linéaire de par rapport aux bases. Si ψ est une deuxième application linéaire de F dans un troisième espace vectoriel G de base D alors, relativement aux bases B, C, D, la matrice de la composée ψ∘φ est égale au produit des matrices de ψ et φ. On peutmême«écraser»lerepère.Parexemple,lamatrice A= 1 0 0 0 est associée à l’application linéaire p: (x;y) 7! —. — e’1 = 7e1 + e2 – 4e3 En effet : On retrouve une « sorte » de principe de Chasles mais : (B2;B1)(B3;B2) → (B3;B1) (attention cette notation est à faire uniquement au brouillon, elle n’est pas valable mathématiquement). f(X) = 2 x 1 – X = 2 – X scalaires Mais, la matrice trouvée dépend entièrement de ce choix de bases. Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur les matrices. Soit x ∈ E. Comme B est une base de E, on peut décomposer x de manière unique dans cette base : il existe a1, a2 et a3 tels que : Pour connaître f(x) il suffit donc de connaître f(e1), f(e2) et f(e3), qui sont définis dans la matrice. Exemple n°6 —. Cela va donner une autre matrice de passage d’une base à une autre. On peut donc poser P la matrice de passage de B1 dans B’1 et Q la matrice de passage de B2 dans B’2 : D’après ce schéma, au lieu de faire directement B pour aller de B’1 dans B’2, on peut passer par B1 (en multipliant par P), puis par B2 (en multipliant par A) puis revenir à B’2 (en multipliant par Q-1), ce qui donne Q-1AP (et non PAQ-1… et oui, il faut inverser comme on l’a vu précédemment…). — , donc par les vecteurs. Et cette matrice existe tout le temps, P est nécessairement inversible car si on a 2 bases, on peut toujours passer de l’une à l’autre. et un nombre de colonnes égal à la dimension de l'espace de départ de Supposons que l’on ait une application linéaire f de E dans F. coefficients (il y a -ème colonne de la matrice associée à par rapport aux bases dépend uniquement de la dimension de Soit L1 Algèbre linéaireDans cette vidéo on se donne une application linéaire et on explique comment fabriquer sa matrice. L'étude des propriétés des applications linéaires entre deux espaces de type fini permet d'affirmer que : - l'application linéaire Les matrices de passage Entraîne-toi sur plusieurs exemples c’est la meilleure solution pour ne pas te tromper le jour J ! et Une matrice peut être vue comme la représentation, sous forme d’un « tableau », d’une application linéaire. sur le vecteur — . Ce n’est pas n’importe quelle matrice de passage, et il faut bien appliquer le pseudo-principe de Chasles vu précédemment pour savoir si on multiplie par P ou P-1, à gauche ou à droite etc…. Soit X un vecteur colonne exprimé dans une base B. une base de Il est donc déterminé de façon unique par ses coordonnées dans la base de e3 = 01 + 0e2 + 1e3 A = PBP-1 et e’2 = 8e1 – 2e2 + 9e3 est un entier compris entre Re : Matrice associée à un application linéaire (dérivation d'un polynôme) Bonjour. et si Donc cette application est la réciproque de .. Un automorphisme de est une application linéaire qui envoie une base de sur une autre base. Elles sont reliés par l’égalité par l’égalité B = Q-1AP ⇔ A = QBP-1, avec P et Q matrices de passage. B = P-1AP Posons E 11 = 1 0 0 0 ;E 12 = 0 1 ;E 21 = 0 0 0 1 ;E 22 = 0 0 0 1 . Remarquons immédiatement qu'il est nécessaire de mettre deux indices pour identifier ces scalaires : - le deuxième indique qu'il s'agit des coefficients de la décomposition de Soit B = (e1, e2, e3) une base de E et B’ = (e’1, e’2) une base de F, telles que : et ; - le premier qui, pour un même Définition de la matrice associée à une application linéaire par rapport à des bases. Une question qui revient souvent au contrôle continu ou en devoir: écrire la matrice A d'une application f dans une base. Supposons que l’on ait 3 bases B1, B2 et B3, ainsi que P1 matrice de passage de B1 dans B2, et P2 matrice de passage de B2 dans B3 : Si je fais P1 x P2, j’obtiens la matrice de passage… de B1 dans B3 ! Donc, l'application linéaire Déterminer la matrice associée à une application linéaire f à partir de l'image par f des vecteurs de la base de E. f est-elle bijective ?

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